अलीकडेच प्राथमिक गणिताची इयत्ता पहिली व दुसरीची नवी क्रमिक पुस्तके चाळताना माझ्या लक्षात आले की, हा सगळा अभ्याक्रम क्षमताधिष्ठित आहे. या क्रमिक पुस्तकांद्वारा शिकवायचा प्रत्येक घटक व उपघटक सूक्ष्म क्षमतांमध्ये विभागला आहे आणि पुस्तकांच्या प्रत्येक पानावर विद्यार्थ्यांकडून ‘आत्मसात करून घ्यायच्या’ क्षमतेची नोंद आहे. उदाहरणार्थ, गणिताच्या दुसरीच्या अभ्यासातील २. २. ३ ही क्षमता ‘२० पेक्षा लहान संख्येतून एक अंकी संख्या वजा करता येणे’ अशी आहे. अभ्यासक्रम असा क्षमतांमध्ये विभागल्याने प्रत्येक पाठाची सूक्ष्म स्तरावरील उद्दिष्टे स्पष्ट होतात; विद्यार्थ्याला काय यायला पाहिजे हे शिक्षकांना समजायला मदत होते, त्यांना मार्गदर्शन होते; विद्यार्थ्यांचे मूल्यमापन करणेही सोपे होते. या दृष्टीने क्षमताधिष्ठित अभ्यासाचे महत्त्व आहेच; मात्र या सगळ्या उत्साहाच्या भरातही काही चांगले शिक्षक असमाधानी आहेत, त्यांना एक अपुरेपणा जाणवत आहे. तो कोणता हे शोधण्याचा प्रयत्न मी केला. त्यातून जे गवसले ते येथे मांडण्याचा हेतू आहे.

मला प्रथम आठवतो तो जर्मन शिक्षणतज्ज्ञ वेर्टहाइमर यांनी वर्णन केलेला एक प्रसंग. एकदा वेर्टहाइमर एका नावाजलेल्या शाळेला भेट द्यायला गेले होते. त्यांनी उच्च प्राथमिक (५ वी ते ७ वी) स्तरावरील एका वर्गात खालील प्रश्न फळ्यावर लिहून मुलांना सोडवायला सांगितला. (३५७ + ३५७ + ३५७ + ५३७ + ३५७)÷ ५ = ? त्यांना वाटले मुलांचे उत्तर क्षणात तयार असेल, बराच वेळ झाल्यानंतरच मुलांचे आले. प्रत्येक मुलाच्या वहीत ३५७ + ३५७ + ३५७ + ३५७ + ३५७ = १७८५ अशी बेरीज त्यानंतर १७८५ ला ५ ने दिलेला भागाकार म्हणजे ३५७ असे रीतसर उत्तर काढले होते. कोणीही अंशात ३५७ पाच वेळा येतात, छेदातही ५ असल्याने उत्तर ३५७ हे पटकन ओळखले नव्हते म्हणूनच त्यांना उत्तरासाठी वेळ लागला. या विद्यार्थ्यांना रीतींचे, क्षमतांचे ज्ञान होते. मात्र ‘संख्यांची जाण’ नव्हती असे म्हणता येईल. संख्यांची जाण (number sense) संख्या वाचता, लिहिता येणे, त्यांच्यावरील बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार इत्यादी क्रिया व्यवस्थित करता येणे याच्यापलीकडे जाते. ती शब्दात व्यक्त करता येणे कठीण आहे. परंतु असे म्हणता येईल की, एकेक संख्या आणि तिच्यावरील क्रिया यांच्यात गुंतून न राहता एकूण उदाहरणात किंवा प्रश्नात काय करायला पाहिजे हे ओळखण्याची कुवत म्हणजे संख्यांची जाण. ही जाण एक साकल्यात्मक कौशल्य आहे. दुर्दैवाने अशी साकल्यात्मक (hilistic) कौशल्ये सूक्ष्म स्तरावरील क्षमतांच्या भाषेत मांडता येत नाहीत. मात्र म्हणून ती कुठेही मांडायची गरजच नाही असे म्हणणे किंवा गृहीत धरणे योग्य नाही. चांगल्या शिक्षकांना स्वतः अशी कौशल्ये चांगली अवगत असतात व विद्यार्थ्यांना ती द्यायची त्यांची धडपड असते. आणि म्हणूनच त्यांना नवीन क्षमताधिष्ठित अभ्यासक्रमात एक अपुरेपणा जाणवतो.

संख्यांच्या जाणीसारखी गणिती कौशल्ये हळूहळू विकसित होत जातात, एका घटका, उपघटका किंवा उदाहरणाद्वारा नव्हे. ही कौशल्ये काय आहेत हे त्यांची अंगे कोणती हे योग्य उदाहरणाद्वारा सांगता येते. आदिवासी विद्यार्थ्यांच्या एका आश्रमशाळेतील तिसऱ्या इयत्तेतील एका विद्यार्थ्याला १ ते १०० या संख्या व्यवस्थित लिहिता येत होत्या. त्याला आम्ही चारशे शहात्तर अंक स्वरूपात लिहायला सांगितले. त्याने आनंदाने ही संख्या-४००७६ अशी लिहिली.. स्थानिक किमतीची त्याची समज अपुरी होती. स्थानिक किंमत चांगली समजणे आणि त्याबरोबरच संख्यांचे महत्तामान (Order of magnitude) लक्षात येणे हे संख्यांच्या जाणीचाच भाग आहे. १३०४ १२० या गुणाकाराचे उत्तर अनेक मुले १५६० काढून मोकळी होतात. जर १३० व १२० या दोन्ही संख्या १०० पेक्षा मोठ्या आहेत व म्हणून उत्तर १०० x १०० = १०००० पेक्षा मोठे पाहिजे हे विद्यार्थ्यांच्या लक्षात आले की त्यांचे उत्तर योग्य येते. योग्य उत्तराचा अंदाज करता येणे अनेक वेळा, विशेषत: परीक्षेत, अतिशय उपयोगी ठरते. दशांश अपूर्णांकातील विद्यार्थ्यांच्या चुका पाहिल्यावर हे प्रकर्षाने जाणवते. ०.०७ × १०० चे उत्तर विद्यार्थी ७०० पासून ०.०००७ पर्यंत काढतात. येथेही महत्तामानाची समज योग्य असेल तर विद्यार्थी चूक करीत नाही. या दृष्टीने सुरुवातीस ०.०७ x १०० म्हणले ७००,७०,७, ०.७, ०.०७, ०.०००७, ०.००००७ यापैकी काय असा बहुपर्यायी प्रश्न विचारावा. वाजवी उत्तर काय याचा तर्क करण्याचा सराण विद्याथ्यांकडून मुद्दाम करून घ्यायला हवा. प्रायमिक शिक्षकांच्या एका प्रशिक्षणवर्गातील चर्चेत ३०९ ÷३ = १३ असे एका शिक्षिकेने लिहिले. त्यांना ते चूक आहे हे उमंगले होते, परंतु चुकीची दुरुस्ती करताना त्या गोंधळल्या. (मग इयत्ता चौथीतील लहान मुले असा भागाकार करताना गोंधळली तर नवल काय?) या ठिकाणी देखील ३०९ = ३०० + ९ असल्यामुळे भागाकार १०० पेक्षा मोठा आला पाहिजे ही जाण उपयुक्त ठरली असती.
संख्यांची जाण वाढवण्यासाठी खरे म्हणजे मुलांना संख्यांशी खूप खेळू द्यायला हवे. १७ + १८ अशी उदाहरणे तोंडी करताना मुले वेगवेगळ्या युक्त्या वापरतात; बहुसंख्य मुले १७ + १८ = १० + ७ + १० + ८ = २० + १५ = ३५ असा मार्ग अवलंबतात, काही १७ + १८= १७ + १७ + १ = ३४ + १ = ३५ असा, तर आणखी काही १७ + १८ = १७ + २० – २ = ३७ – २= ३५ असा मार्ग शोधतात. मुलांच्या अशा विविध पद्धती लक्षात घेऊन त्यांना प्रोत्साहन देणे जरुरीचे आहे. पाश्चात्य देशात यासाठी वर्गात खेळ घेतले जातात. अशा एका खेळात वर्गातील मुलांचे चार किंवा अधिक गट करून प्रत्येक गटला १४ सारखी एक संख्या दिली जाते; १० मिनिटांत प्रत्येक गटाने ज्याचे उत्तर १४ येईल असे जास्तीत जास्त प्रश्न बनवायचे; जो गट सर्वाधिक प्रश्न बनवेल तो जिंकला. (जसे, १४ = १० + ४,१४= २०-६, १४= १३ + १, १४ = १४० ÷ १०, १४ = १.४ × १०, १४ हे १९६ चे वर्गमूळ आहे; १४ ही ३४७च्या अंकांची बेरीज आहे इत्यादी.)

दिलेल्या माहितीतून आकृतिबंध शोधायचा आणि त्यातून नियम, संबंध बांधायचा हेदेखील संख्यांच्या जाणीसारखे महत्त्वाचे गणिती कौशल्य आहे. कार्ल फ्रेडरिक गाउस महान गणितज्ञाच्या लहानपणीची एक गोष्ट नेहमी सांगितली जाते. त्यांच्या गणिताच्या शिक्षकाला शिकवण्याचा कंटाळा आला म्हणून एका तासिकेला त्यांनी विद्याथ्यांना एक काम दिले. १ ते १०० या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करायची. गुरुजींना वाटले की १,२,३… असे करीत, चुकत , चुकत; विद्यार्थी तासाभराने उत्तर काढतील. इ.स.१७८८ मधील ही घटना अकरा वर्षाचा कार्ल प्रश्न विचारला गेल्यावर एका मिनिटात उठला आणि त्याने गुरुजींना बरोबर उत्तर सांगितले, ५०५०. त्याने १ +२ = ३ = २×३/२, १+२+३=६ = ३×४/२,… या निरीक्षणावरून योग्य नियम काढला होता आणि मुख्य म्हणजे तो योग्य का याचा सैद्धांतिक उलगडाही त्याला गवसला होता. (गाऊसच्या नियमानुसार १+२+३+….+ n = n (n+1) /2 म्हणून १ ते १०० या पूर्ण संख्यांची बेरीज १०० x १०१/२=५०५०.) गुरुजींना अर्थातच कालचा गणिती कौशल्याचे आश्चर्य आणि कौतुक दोन्ही वाटले. (विसाव्या शतकाच्या सुरुवातीला तामिळनाडूमधील एका शाळेत वरील घटनेची पुनरावृत्ती घडली. अर्थात या शाळेतील त्या लहानग्या विद्यार्थ्याला गाऊस यांची माहिती असणे शक्यच नव्हते. हा लहानगा विद्यार्थी होता थोर भारतीय गणिती श्रीनिवास रामानुजन) त्रिकोणाच्या तीन आंतरकोनांची बेरीज १८०० चौकोनांच्या चार आंतरकोनांची बेरीज ३६०० पंचकोनांच्या पांच आतंकोनांची बेरीज ५४००, ….. इत्यादी वरून n बाजू असलेल्या बहुभूजाच्या आंतर्कोनांच्या बेरजेचा नियम बनवता येईल का? प्राथमिक स्तरावरच्या गणितात जागोजागी अशी उदाहरणे आढळतात. आकृतिबंधांचा शोध आणि त्यावरून नियम बांधण्याच्या या प्रक्रियेत आपण विशिष्टाकडून सामान्याकडे जातो. मुलांची विचारप्रक्रिया मुख्यत्वे अशीच असते. आकृतिबंधाशी, पॅटर्नशी खेळणे त्यांना खूप आवडते. या प्रक्रियेच्या नेमकी उलट प्रक्रिया म्हणजे सामान्याकडून विशिष्टाकडे, सर्वसाधारण नियमाकडून उदाहरणाकडे जाणे. ज्याला आपण गणिती युक्तिवाद (reasoning) म्हणतो त्यात या दोन्ही निगामी आणि विगामी प्रक्रिया येतात. वेगवेगळ्या उदाहरणांद्वारा मुलांच्यात या दोन्ही विचारप्रक्रिया, युक्तिवादकौशल्य विकसित करणे गणिताच्या अभ्यासाचे महत्त्वाचे उद्दिष्ट आहे.

मला आणखी चार प्रकारची कौशल्ये प्राथमिक गणिताच्या संदर्भात महत्त्वाची वाटतात. एक म्हणजे निरनिराळ्या आकृती आणि त्यांचे गुणधर्म यांची भौगोलिक जाण. याचे अगदी नेहमीचे उदाहरण म्हणजे त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = १/२ पाया x उंची हे डोक्यात भिनलेल्या विद्यार्थ्यांना जर दिलेला त्रिकोण क्षितिजसमांतर नसेल तर वरील सूत्र वापरताच येत नाही. असे विद्यार्थी जर चौरसाची कोणतीही एक बाजू क्षितिजसमांतर नसेल तर ती आकृती चौरस नाही असे सांगतात, त्यांची भौगोलिक जाण पुरेशी विकसित झालेली नसते. कोणत्याही लांबी, रुंदी, जाडी, अंतर, क्षेत्रफळ, घनफळ, कोन, काळ, तापमान, विद्युतधारा, वस्तुमान अशा राशींचे मापन करण्याआधी आपल्याला ती किती लहान-मोठी आहे याचा अंदाज घ्यावा लागतो. रोजच्या जीवनात प्रत्यक्षमापन करावे लागले नाही तरी खर्चाचा, काळाचा, वजनाचा, आकारमानाचा असे अंदाज आपल्याला करावे लागतात. भौतिक राशींचा असा योग्य अंदाज घेण्याचे कौशल्य जोपासणे विज्ञानासाठीच नव्हे तर गणितासाठी महत्त्वाचे आहे. एका किलोग्रॅममध्ये बटाटे किती येतील? शाळेच्या इमारतीची उंची काय आहे? असे प्रश्न विचारल्यास मजेदार उत्तरे येतात कारण अंदाजकौशल्याची जोपासना आपल्या अभ्यासात फारशी होतच नाही. तऱ्हेतऱ्हेची माहिती गोळा करून, तिचे संकलन व संस्करण करून, आलेख, तक्ते इत्यादीद्वारा निष्कर्ष काढणे हे असेच महत्त्वाचे गणिती कौशल्य आहे. पावसाळ्यात रोज पाऊस किती पडला याची एक . कामचलाऊ पर्जन्यमापक तयार करून विद्यार्थ्यांना, अगदी तिसरीच्या, मोजणी करायला लावले आणि मिळालेली माहिती संकलित केली तर मुले इतके विविध निष्कर्ष काढू शकतात याचे आपल्याला आश्चर्य वाटेल. आणखी एक महत्त्वाचे कौशल्य म्हणजे व्यावहारिक भाषेचे गणितात आणि गणिताचे व्यावहारिक भाषेत रूपांतरण. अगदी साधे बेरजेचे ४+३=७ किंवा वजाबाकीचे १३ -६=७ असे उदाहरण घेतले तरी त्यातून अनंत शाब्दिक प्रश्न तयार करता येतात. जसे, विनूजवळ ४ गोट्या आहेत आणि दिनूजवळ ३ गोट्या आहेत, दोघांकडे मिळून किती? आता हाच प्रश्न विनु, दिनू ही पात्रे आणि गोट्या ही वस्तू बदलून किती वेगवेगळ्या शब्दांत विचारता येईल? जर विनूजवळ ४ गोट्या होत्या आणि त्याने आणखी ३ खेळात जिंकल्या, आता त्याच्याकडे किती गोटया आहेत, अशा तऱ्हेने हीच बेरीज बदलली तर? पहिल्या प्रश्नात आपण दोन संचांचे एकत्रीकरण केले, दुसऱ्या प्रश्नात एकच संच वाढवला. म्हणजे एकाच बेरजेच्या गणिती उदाहरणाला अर्थाच्या दोन वेगळ्या छटा आपण दिल्या; आणि या अर्थछटांपलीकडे शब्दांच्या तर अनंत जुळण्या करता येतात हेही आपण पाहिले. शब्द आणि संख्या यांचे परस्पर रूपांतरण करण्याचे कौशल्य खरे म्हणजे अतिशय काळजीपूर्वक विकसित करायला हवे. आपल्याकडे त्यासाठी फारच कमी वेळ व लक्ष दिले जाते. विद्यार्थ्यांना गणिती प्रश्न आणि संदर्भ (उदाहरणार्थ, वरील ४ + ३ = ७ या बेरजेसाठी विनू-दिनू हे मित्र व त्यांच्याजवळील गोट्या हा संदर्भ) देऊन शाब्दिक प्रश्न तयार करायला लावणे हा माझ्या मते हे रूपांतरणकौशल्य विकसित करण्याचा उत्कृष्ट मार्ग आहे. मला असे प्रामाणिकपणे वाटते की सूक्ष्म स्तरावरील क्षमतांचा विकास गणिताच्या अभ्यासात जेवढा महत्त्वाचा आहे तेवढाच बृहद् स्तरावरच्या, साकल्यात्मक कौशल्यांचा विकास महत्त्वाचा आहे.

आपण वर चर्चिल्याप्रमाणे ही कौशल्ये म्हणजे १) संख्यांची जाण, २) आकृतिबंध ओळखणे व नियम बांधणे, ३) नियमावरून विशिष्टाकडे तर्क वापरून जाणे, ४) भौमितिक जाण, ५) अंदाज कौशल्य, ६) माहिती संकलन, संस्करण व निष्कर्ष आणि ७) संख्या आणि शब्द यांचे परस्पर रूपांतरण. ही कौशल्ये विकसित करण्यासाठी मुद्दाम प्रयत्न व्हायला हवेत; अभ्यासक्रमात त्यांचा जाणीवपूर्वक समावेश व्हायला हवा. तो तसा करता येतो हे अनेक उपक्रमांद्वारा दाखवले गेले आहे. आमच्या होमी भाभा विज्ञान शिक्षण केंद्रातर्फे अभ्यासक्रम निर्मितीचा एक प्रकल्प चालू आहे. या प्रकल्पात सूक्ष्मक्षमता व बृहद्कौशल्ये याचा मेळ घालून घटक तयार केले जात आहेत आणि प्रत्यक्ष क्षेत्रीय चाचण्या घेऊन, विद्यार्थ्यांना काय भावते, काय नाही हे लक्षात घेऊन घटकांचा अंतिम मसुदा तयार केला जात आहे. शिक्षक बंधू भगिनींनी याबाबतीत आमच्याशी चर्चा केलेली आम्हाला फार आवडेल आणि प्रकल्पासाठी ती उपयुक्त ठरेल. (सध्या इयत्ता पहिली व तिसरीसाठी क्रमिक पुस्तके व त्यांच्याबरोबरीने शिक्षक हस्तपुस्तिका तयार झाल्या आहेत).

शेवटी या संबंधात आणखी दोन मुद्दे मांडायचे आहेत. एक म्हणजे प्राथमिक स्तरावर तरी विद्यार्थ्यांच्या बौद्धिक विकासात मूर्त वस्तूंना, अमूर्त विचार प्रक्रियेपेक्षा अधिक महत्त्वाचे स्थान असते. त्यामुळे अभ्यासक्रमात मूर्त वस्तू हाताळणे; चित्रे, तक्ते यांचा उपयोग; व्यावहारिक अनुभव, खेळ, कोडी अन्य शैक्षणिक साधने याचा अधिकाधिक जाणीवपूर्वक समावेश असावा. या दृष्टीने प्रत्येक शाळेत गणित प्रयोगशाळा असणे जरुरीचे आहे. दुसरे म्हणजे एकूण शालेय गणित शिक्षणाची जी बृहद्स्तरावरची तीन प्रमुख उद्दिष्टे आहेत ती लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे. एक म्हणजे गणिती युक्तिवाद करता येणे, दुसरे हा युक्तिवाद वापरून व गणिती तंत्राचा उपयोग करून समस्या सोडवणे (Problem Solving) आणि तिसरे म्हणजे गणितातील घटकांचा एकमेकांशी, अन्य विषयांशी आणि व्यावहारिक जीवनाशी संबंध लावता येणे ही तिन्ही मुलांना साध्य होण्यासाठी वर आपण ज्यांची चर्चा केली ती सात साकल्यात्मक कौशल्ये आणि सूक्ष्मक्षमता दोन्हीवर योग्य भर दिला गेला पाहिजे. केवळ क्षमतांवर भर देणे एकांगी ठरेल. मुलांची गणिताची एकूण समज वाढायची असेल, उपयुक्तता पटायची असेल आवड वाढायची असेल, भीती कमी व्हायची असेल, गणितशिक्षण खऱ्या अर्थाने बालकेंद्री व्हायचे असेल तर दोन्ही अंगांनी संतुलित प्रयत्न व्हायला हवेत. महाराष्ट्राला भूषणभूत ठरलेल्या. बालकेंद्री शिक्षणाचा वारसा जपणाऱ्या बालमोहन विद्यालयाच्या हीरक महोत्सवप्रसंगी या लेखाच्या निमित्ताने मला माझे विचार मांडता आले हेमी माझे भाग्य समजतो. या विद्यालयाचे, त्याच्या विद्यार्थ्यांचे, शिक्षकांचे, संचालक मंडळींचे पुनःपुन्हा अभिनंदन आणि त्यांना त्यांच्या सर्व प्रयत्नांना लाख लाख शुभेच्छा!